ceros complejos y el teorema fundamental del algebra

15 de noviembre de 2011

• Teorema fundamental del algebra:

Todo polinomio:

P(x)= anxn + an-1xn-1…… a1x + a0

donde n ≥1, an≠0

Teorema de factorizacion completa :

Si p(x) es un polinomio de grado n≥1, entonces existen numeros complejos a, c1, c2.....cn a≠o tal que:

Ej:

f(x)= X3 + X2 + 9X + 9

X2(x+1) + 9(x+1)

(x+1)(X2+9)

X1=-1

X2=-3i

X3=3i

f(x)=(x+1)(x+3i)(x-3i)

Teorema De Ceros Conjugados.

16 Noviembre 2011

-Si el polinomio P tiene coeficientes reales, Y. Si el numero complejo Z es un cero de P entonces son complejo conjugado Z es tambien un cero de P

1) Escribe un polinomio de grado 3 cuyos ceros son: 1,-5,6
x=1 => x-1
x=-5 => x+5
x=6 => x-6

f(x)= (x-1)(x+5)(x-6)
=(x^2+4x-5)(x-6)
=X^3-6x^2+4x^2-24x-5x+30
=x^3-2x^2+29x+30

2) Escribe un polinomio de grado 3 cuyos ceros son: 3,-2i
x=3 => x-3
x=-2i => x+2i
x=2i => x-2i

f(x)=(x-3)(x+2i)(x-2i)
=(x-3)(x^2+4)
=x^3+4x-3x^2-12
=x^3-3x^2+4x-12

BY DANIER

Funciones Racionales

Ej.

f(x)= 2/x² - 4

Df= ( - ∞, - 2 )U( -2, 2 )U( 2, ∞)


Sintética Vertical

x² - 4 = 0
√x²= √4
x = ±2



x→ 2‾
x y
-4 0.16
-3 0.14
-2.5 0.88
-2.3 1.5
-2.2 2.4
-2.1 4.9

x→ 2+
x y
2.1 4.4
2.2 2.4
2.3 1.5
2.5 0.88
3 0.4
4 0.16














Asintotas Horizontal

R(x)= aₓ xⁿ + aₓ̱ xⁿ־¹ … ax + a˳
_____________________________
bₓx ͫ + bm ̱ x ͫ ־¹ … bx + b˳


Las asintotas Horizontales se obtinen:

a) Si nEj. x/x² - 4

b) Si n = m, entonces R tiene asuntota horizontal y = aₓ/bm
Ej. 3x²/6x² = 3/6 = ½
y = ½

c) Si n>m, Entonces R no tiene asintota horizontal, tiene asintota oblicua

Funciones racionales 29/nov/11

Funciones racionales

Una function racional es una function en la forma r(x)=P(x)/Q(x), donde Q(x)≠0

Ejemplo: F(x)=1/x ; x≠0

h(x)=1/x+2 ; x≠-2

g(x)=x+8/x^2-9 ; x≠±3

f(x)=1/x

Asintotas Verticales, Horizontales u oblicuas

Asintota vertical

Ej. h(x)=1/x+2

Df=(-∞,-2)U(-2,∞)

X+2=0

X=-2

Tabla de valores

x->-2^-

x	y
-5	-0.33
-4	-0.5
-3	-1
-2.5	-2
-2.2	-5

x->-2^+

x	y
-1.5	2
-1.7	3.3
-1.8	5
-1	1
0	0.5
2	0.25
3	0.2
4	0.16
1	0.33

Funciones Polinimiales (10 de noviembre de 2011)

-Sea P un polinomio con coeficientes reales si se divide p(x) entre x-b (con b>0) Por medio de la division sintetica y el residuo es cero entonces b es un cero de la funcion


Ejemplo #1


f(x)= x³ + x² - 10x + 8 tiene dos ceros positivos

f(-x)= (-x)³ + (-x)² - 10(-x) + 8

-x³ + x² + 10x +8 tienes un cero negativo


p = factores del ultimo termino
_________________________
q = factores del primer temino


p = ±1 ±2 ±4 ±8
_____________

q = ±1



Los posibles ceros de la funcion:
±1 ±2 ±4 ±8


Division Sintetica:

1 | 1 1 -10 8
| 1 2 -8
2 | 1 2 -8 | 0
| 2 8
1 4 | 0


x + 4
x + 4= 0
x= -4



x = 1
x = 2
x = -4

f(x)= (x - 1) ( x – 2) ( x + 4)

Ceros y el Teorema Fundamnetal de Algebra

Teorema fundamental de algebra:

Todo poliniomio:

P(x)=a_n xⁿ + a_an-1x^n-1 +…a₁x+a_o

_{donde: n>= 1,} a_{n /= 0}

_{Teorema de la Factorizacion Completa:}

_{Si P(x) es un polinomio de grado n>=1,entonces existen numeros complejos a,}c₁, c₂...c_{n con a/=0 tal que:}

P(x)a(x-c₁)(x-c_2)...(x-c_n)

_Ejemplos:

_1)f(x)=(X³+x²) + (9x+9)

=x²(x+1) + 9(x+1)

=(x+1)(x²+9)

F(x)=(x+1)(x+3i)(x-3i)

2)f(x)=x⁵ + 6x³ + 9x

=x(x⁴ -6x² +9)

=x(x² +3)(x² +3)

f(x)=x(x-raiz 3i)² (x+raiz 3i)²

Funciones Polinomiales 7/nov/11

7/nov/2011

Funciones Polinomiales

F(x)=x^3-x
f(x)=x(x^2-1)
f(x)=x(x+1)(x-1)
0=x(x+1)(x-1)

x1=0 ; x2=-1 ; x3=1 ------------Tres interceptos en x




Fin