Caida Libre-Funcion de Posicion

A un tiempo cero (t=0) un clavista se impulsa a una velocidad de 16 pies/seg. desde una plataforma que se encuentra a una ltura de 32 pies sobre el agua.

s(t)=-1/2 gt²+ vot+ so

g=9.8 pies m/s² --->32pies/s²

^{t= tiempo}

v_o= velocidad inicial

s_o= posicion inicial

a) Cual es la funcion que define la trayectoria del clavadista?

s(t)=-1/2(32) t²+16(t)+32

s(t)= -16 t²+16 +32

b)Cual es la altura maxima que alcanza el clavista? h=s(t)

s(0.5)=-16 (0.5)²+16(0.5) +32

s(0.5_=36

hmax=36 pies

c) Cuanto tiempo le toma al clavista alcanzar la altura maxima?

t=-b/2a

=-1/2(-16)

d)Cuando el clavadista toca el agua?

O=-16 t²= 16 (t)+32

O/-16=-16(t²-t-2)/-16

O=t²-t-2

O=(t+1)(t-2)

t+1=O t-2=O

t=-1 t=2

t=2seg.

* Escoger el resultado positivo.

Funciones Cuadraticas

Problemas de Aplicacion

A) Area Maxima

Ejemplo # 1. Se requiere construir una verja para cubrir un terreno rectangular que se encuentra al costado de una casa. Se cuenta con un rollo de 1000m d tela metalica.?Cual es el area maxima que se puede cercar?

Formulas:
p = 2w + 2L
a = Lw
la w seria la x ---> w = -b/2a



p = 2w + L

1,000 = 2w + L
1,000 - 2w = L

a = Lw

a = (1,000 - 2w)w
a = 1,000w - 2w²
a = -2w² + 1,000w

w = -b/2a
w = -(1000)/2(-2)
w = -1000/-4
w = 250m

1,000 - 2w = L
1,000 - 2(250) = L
1,000 - 500 = L
500 = L

a = Lw
a = (500m)(250m)
a = 25,000 m²

Area maxima = 25,000 m²

Fonctions Quadratiques

Funciones Cuadraticas, WoW!!

---Forma General---

f(x)=ax²+bx+c

k= 4ac-b²/4a

h= -b/2a

eje de simetria== -b/2a

Y= f(-b/2a)

EJEMPLIFICACION!!!

1) f(x)=2x²-4x+1

a) x=-b/2a
x=4/(2(2))
x=1

b) Y= 2(1)²-4(1)+1
Y=2-4+1
Y=-1

c) V=(1,-1)

d) intercepto en Y

2(0)²-4(0)+1
=(0,1)

e) Discriminante!!!!!!!!

=b²-4ac
=(-4)²-4(2)(1)
=16-8
=8 porlo tanto segun b²-4ac<0 tiene dos interceptos en X

f) intercepto en X

0=-b±√(b²-4ac)/2a
0=-(-4)±√((-4)²-4(2)(1))/(2(2))
0¹=7.7
0²=-4.7

g) tabla de valores y graficas




q fea la grafica!!!
jajaj la hice en paint

Funciones Cuadratica 19/oct/11

Forma general

f[x]=ax^2+bx+c

f[x]=-3x^2+6x-4

vertices

x=-b/2a = -6/2[-3] = 1

y=4ac-b^2/4a = 4[-3][-4]-[6]^2/4[-3] = -1

(1,-1)

eje de simetria

x=1

Concavidad

A<0

Int y (0,-4)

int x no tiene

Tabla de valores

x	y
-2	-28
-1	-13
0	-4
1	-1
2	-4

Grafica

Funcion Cuadratica

Una función cuadrática es una función que puede ser escrita en dos formas:

Forma general: ax²+ bx+ c = 0

Forma estándar: f(x)= a(x – h) ² + k

Vértice de una parábola: es cuando una parábola abre hacia arriba, tiene un punto mínimo. Si abre hacia abajo, tiene un punto máximo. El punto más abajo o más arriba es el vértice de una parábola.

El vértice de una parábola es (h, k)

Eje de simetría: es la recta que pasa por el vértice de una parábola que divide la parábola en dos mitades congruentes.

Concavidad: a>0, cóncava hacia arriba

a<0, cóncava hacia abajo

Para resolver una función cuadrática se necesitan varios factores

a) Vértice

b) Eje de simetría

c) Intercepto en y

d) Intercepto en x (Discriminante)

e) Concavidad

f) Tabla de valores

g) Grafica

Ejemplo:

1.Método de completar el cuadrado (general=estándar)

f(x) = x²+ 2x – 8

= (x²+ 2x) – 8

=(x²+ 2x +1 – 1) – 8

=(x²+ 2x +1) – 8 – 1

f(x) = (x + 1)² - 9

2. Vértice: (-1, -9)

3. Eje de simetría: x = -1

4. Intercepto en y

f(x) = (x + 1)² - 9

y = (0 + 1)² - 9

y = 1 – 9

y = -8

(0, -8)

5. Intercepto en x

a)Discriminante

b² - 4ac > 0 2 interceptos

b² - 4ac = 0 1 intercepto

b² - 4ac < 0 0 intercepto

(2)² - 4(1) (-8)

4 + 32

36 > 0 = 2 interceptos

f(x) = (x + 1)² - 9

0 = (x + 1)² - 9

9 = (x + 1)²

+- 3= x +1

-3 – 1= -4 (-4, 0)

3 – 1 = 2 (2, 0)

6. Concavidad: a>0

7. Tabla de valores

X	Y
-4	0
2	0
0	-8
-1	-9
-2	-8
-3	-5
-5	7
3	7
1	-5

8. Grafica

Funciones uno a uno y sus inversas

Definicion:

Una funcion con dominio A se cono ce como uno a uno. Si no hay dos elementos de A que tengan el mismo rango esto es:

f(x)

-Funcion uno a uno

* Si no hay la misma cantidad de elementos en las dos columnas no es funcion uno a uno.

Prueba de la Recta Horizontal:

Una funcion es uno a uno si ninguna recta horizontal interseca su grafica mas de una vez.

Funciones Inversas:

Las funciones uno a uno son imporatntes porque estas tienen funciones inversas con la definicion siguiente:

-Sea f una funcion uno auno con dominio A y Rango B. Entonces su funcion inversa f^-1 tiene Domino B y Rango A esta definida por:

f^-1 (y)=x<=>f(x)=y

Ej:

1.

2.Inversos entre Si:

f^-1(f(x))=(f^-1o f)(x)=x/1

= 1-2(1/x+2)

entre 1/x+2

= 1-2/x+2

entre 1/x+2

= x+2-2/x+2

entre 1/x+2

= x/x+2 por x+2/1

= x

Composicion de Funciones

Dada dos funciones f y g, la funcion compuesta (fog) esta definica por:

o= compuesto

(f o g)= f esta compuesto por g = f(g(x))
(g o f)= g esta compuesta por f = g(f(x))

Ejemplo#1:

f(x)= 5x²-3
g(x)= x+5


a) (f o g)(x)= 5(x + 5)² -3
= 5(x² + 10x + 25) -3
= 5x² + 50x + 125 -3

= 5x² + 50x + 122


b) (g o f)(x)= (5x² - 3) + 5

= 5x² + 2

Ejemplo#2

f(x)= √x
g(x)= x² + 1
h(x)= x + 3

a) (f o g o h) = √(x + 3)² +1
= √x² + 6x + 9 + 1

= √x² + 6x + 10

26/sept/11 Combinacion de funciones

En esta seccion se estudian diferentes formas de combinar funciones para construir otras.

Suma diferencias, productos y cocientes.

Dos funciones f y g se pueden combinar para formar nuevas funciones f + g, f - g, f[g] y f/g de una manera similar a la forma que se suma , resta, multiplacacion y divide numeros reales. Se define la informacion f + g por

[f + g][x]=f[x] + g[x]

ejemplo: f[x] =2x - 4

g[x] = x-2

[f + g][x] = 2x - 4 + x -2

[f + g][x]= 3x - 6

[f - g][x] = 2x - 4 - x -2

[f - g][x] = x -6

[fg][x] = [2x - 4][x - 2]

[fg][x] = 2x^2 + 4x -4x + 8

[fg][x] = 2x^2 + 8

[f/g][x] = 2x - 4/x -2

[f/g][x] = 2[x-2]/x-2

[f/g][x] = 2