(Viernes 27/enero/ 12) Modelos de Crecimiento y Decaimiento Exponencial

Funciones

Crecimiento Decaimiento

A(t)=Aoe^kt A(t)=Aoe^-kt

A(t)= final

Ao=inicial

K=tasa

T=tiempo

Comienza con 10,000 bacterias y el número de bacterias se duplica cada 40 minutos

a) Encuentra una función que modele el número de bacterias en el tiempo t.

b) Encuentre el número de bacterias después de una hora.

c) Después de cuantos minutos habrá 50,000 bacterias.

a) A(t)=Aoe^kt

20,000=10,000e^k40

20,000/10,000=(10,000e^k40)/10,000

2 = e^k40

ln 2 = 40k

ln 2/40 = 40k/40

0.0173≈k

A(t)=10,000e^(0.0173)t

b) A(t)=Aoe^kt

A(t)=10,000e^(0.0173*60)

≈28,236 bacterias

c)A(t)=Aoe^kt

50,000 = 10,000 e^(0.0173)t

50,000/10,000 = (10,000 e^(0.0173)t)/10,000

5 = e^(0.0173)t

ln 5 = 0.0173t

ln 5/0.0173 = 0.0173t/0.0173

93.0113≈t

Ecuaciones Logaritmicas (24 de enero de 2012)

Ejemplos discutidos en clase

1) 21-x =3

log 21-x = log 3
(1-x) log 2 = log 3
log 2 – xlog 2 = log 3
log 2 – log 3 = xlog 2
x = log 2 – log 3 / log 2
x≈ -.5850

2) log 2 (2x+1) = 3

23 = 2x + 1
8 = 2x + 1
8 – 1 = 2x
7 = 2x
7/2 ≈ x

3) log x + log (x+15) = 2

log x(x+15) = 2

102 = x(x+15)
100 = x2 + 15x
0 = x2 + 15x – 100
0 = (x+20) (x-5)

x ≈ 5

4) 22x + 2x – 12 = 0

(2x)2 + 2x – 12 = 0

Sustituye 2x con y (y=2x)

y2 + y – 12 = 0
(y+4) (y-3) = 0
y= -4 o y = 3

y = 3 (recuerda que, sustituye la y con: y = 2x)

2x = 3

log 2x = log 3
x( log 2) = log 3
x= log 3 / log 2

x ≈ 1.5850

Ecuaciones exponenciales y logaritmicos

Recuerda:

loga x=y<=>a4=x

Teorema:

1) b^x=b^y

^x=y

^2)loga^{x=loga y}

^x=y

^Ejemplos:

1)2^x=16

2^x=2⁴

^x=4

²⁾ 5^x+1=625

5^x+1=5⁴

x+1=4

x=4-1

x=3

3)2 (10^x)=200

2(10^x)/2 =200/2

10^x=1o0

10^x=10²

^x=2

⁴⁾2^3x-1=32

2^3x-1=2⁵

3x-1=5

3x=5+1

3x/3=6/3

x=2

5)(1/5)^2-x=25

5^-1(2-x)=5²

1/x=x^-1 -2+x=2

x=2=+2

x=4

18-19 de enero del 2012

Leyes de los logaritmos

En esta sección se estudian las propiedades de los logaritmos. Estas propiedades dan a las funciones logaritmos una amplia variedad de aplicaciones.
Ya que los logaritmos son exponentes las leyes de los exponentes dan lugar a las leyes de los logaritmos
Sea a un numero positivo con + - 1. Sean M>0, N>0, r números reales cuales quiera,
Entonces:

Logaritmos

17 enero 2012

Sea a un numero positivo con a≠0 la funcion logaritmica con base a denotada por loga , se define:

loga X= Y

a= base
X=resultado
Y= exponente

loga X= Y <=> a^Y=X

Ejemplo:

log2 8=3

Asi loga X es el exponente al que se debe elevar la base para que de a X.

Comparacion:

Forma exponencial-----------Forma Logaritmica
A^y=X ----------- loga X= Y

*En ambas formas la base es la misma.

Funcion Logaritmica




















log= Logaritmo Comun= log10
ln= Logaritmo Natural= loge

>Propiedades Logaritmo Comun

* loga 1=0
* loga A=1
* loga A^x= X
* A^loga X= X

>Propiedades Logaritmo Natural

* ln 1=0 => e^0=1
* ln e=1 => e^1=e
* ln e^x= X => e^x = e^x
* e^ln X =X => loge X= ln X

Daniel Rivers

Funcion Exponencial Natural

Viernes 13 de enero de 2012

e^x≈2.71828...

Interes Compuesto

A(t)= p(1+r/n)^nt

Ejemplo:

Se invierte $1000 a una tasa de interes de 12% anual por 3 años y el interes se compone anual, semi-anual, trimestral, mensual y diario

anual A(t)= 1000(1+0.12/1)^1(3)

=$1404.92

semi-anual A(t)= 1000(1+0.12/2)^2(3)

=$1418.52

trimestral A(t)= 1000(1+0.12/4)^4(3)

=$1425.76

mensual A(t)= 1000(1+0.12/12)^12(3)

=$1430.77

diario A(t)= 1000(1+0.12/365)^365(3)

=$1433.24

Interes compuesto de forma continua

A(t)= Pe^rt

A(t)= 1000e^(0.12 x 3)

=$1433.32

John Napier

Nació en el año 1550 en el castillo de Merchiston (Edimburgo). A los trece años, en 1563 comenzó sus estudios en la Universidad de Saint-Andrews, de la que salió años más tarde para viajar por el continente europeo.

De regreso a Merchiston en 1571 contrajo matrimonio al año siguiente, administrando a partir de entonces los bienes de la familia por encargo de su padre, al tiempo que continuaba sus estudios de matemáticas y teología.
A pesar de haber pasado a la posteridad por sus contribuciones en el campo de las matemáticas, para Napier era ésta una actividad de distracción siendo su preocupación fundamental la exégesis del Apocalipsis, a la que se consagró desde su estancia en el colegio. Fruto de esta labor fue su publicación Descubrimientos de todos los secretos del Apocalipsis de San Juan, por dos tratados: uno que busca y prueba la verdadera interpretación, y otro que aplica al texto esta interpretación parafrásticamente e históricamente. La originalidad de su estudio es la aplicación del formalismo matemático en la argumentación, de modo que admitiendo ciertos postulados, llega a demostrar sus proposiciones. Entre ellas, Napier predijo el fin del mundo para los años 1668 a 1700.

En 1614 Napier publica su obra Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, ejusque usus in utroque Trigonometría; ut etiam in omni logística mathematica, amplissimi, facillimi, et expeditissimi explicatio, en la que da a conocer los logaritmos que él llamó números artificiales. En dicha obra promete una explicación que la muerte le impidió publicar, pero que fue añadida por su hijo Roberto en la segunda edición publicada en 1619.
Merced a estos números las multiplicaciones pueden sustituirse por sumas, las divisiones por restas, las potencias por productos y las raíces por divisiones, lo que no sólo simplificó enormemente la realización manual de los cálculos matemáticos, sino que permitió realizar otros que sin su invención no hubieran sido posibles.
En 1617 apareció su obra Rabdologiæ seu numerationis per virgulas libri duo: cum appendice expeditissimo multiplicationis promptuario, quibus accesit et arithmeticæ localis liber unus, en la que describe el ábaco neperiano.
-Murio en el año 1617.fue un gran professional de la matematicas, contribuyendo asi a la lista de profesores matematicos.

11/ene/12

Funciones Exponenciales + logaritmicos

Funciones exponencial con base 2

Ej: F(x)=2^x

Veamos con la rapidez que crece

F(3)=2^3=8

F(10)=2^10=1024

F(30)=2^30=1073741824

Si se compara con: g(x)=x^2 donde g(x)=x^2 donde g(30)=30^2 = 900

f(x)=x^2

x | f(x)

-2 | 2^-2 = 1/2^2= 1/4

-1 | 2^-1= 1/2^1 = 1/2

0 | 2^0 = 1

1 | 2^1 = 2

2 | 2^2 = 4

3 | 2^3= 8

Caracteristicas de la funcion exponencial

f(x)= a^x cuando a>1

1. dominio (-infinito, infinito)

2. Rango (0, infinito)

3. Tiene asintota horizontal en el eje de x

4. Int en y es (0,1)

5.Pasa por los puntos (0,1)(1,a)(-1,1/a)

f(x)= a^x

0

1. dominio (-infinito, infinito)

2. Rango (0, infinito)

3. Tiene asintota horizontal en el eje de x

4. Int en y es (0,1)

5.Pasa por los puntos (0,1)(1,a)(-1,1/a)

La funcion exponencial con base "a" se define para todos los numeros reales x por:

f(x)=a^x

donde a>0; a no igual 0

f(x)=2^x

Base 2

(0,1)

(1,2)

(-1,1/2)

f(x)=3^x

base 3

(0,1)

(1,3)

(-1,1/3)

f(x)=10^x

base 10

(0,1)

(1,10)

(-1,1/10)

12 de enero de 2012

Funcion Exponencial Natural

f(x) = e ͯ

La funcion exponencial natural con base (e)


Modelo de Crecimiento

Formula: N(t) = A˳e k ͭ

A˳ = Cantidad Inicial
k = Constante de Crecimiento
t = Tiempo

Ejemplo:

1. El conteo inicial de bacterias en un cultivo es de 500 bacterias. Posteriormente un biologo hace un conteo de la muestra y encuentra que la tasa relativa de crecimiento es de 40% por hora. Indique la cantidad de bacterias luego de 10 horas.

N(t) = A˳e k ͭ
N(t) = 500 e .40(10) - (proceso en calculadora= 500 [2nd] [LN] .40 x 10 )
N(t) = 27,299. 07
N(t) = 27.300 bacterias

Hay un total aprox de 27,300 bacterias