Funciones Racionales

Ej.

f(x)= 2/x² - 4

Df= ( - ∞, - 2 )U( -2, 2 )U( 2, ∞)


Sintética Vertical

x² - 4 = 0
√x²= √4
x = ±2



x→ 2‾
x y
-4 0.16
-3 0.14
-2.5 0.88
-2.3 1.5
-2.2 2.4
-2.1 4.9

x→ 2+
x y
2.1 4.4
2.2 2.4
2.3 1.5
2.5 0.88
3 0.4
4 0.16














Asintotas Horizontal

R(x)= aₓ xⁿ + aₓ̱ xⁿ־¹ … ax + a˳
_____________________________
bₓx ͫ + bm ̱ x ͫ ־¹ … bx + b˳


Las asintotas Horizontales se obtinen:

a) Si nEj. x/x² - 4

b) Si n = m, entonces R tiene asuntota horizontal y = aₓ/bm
Ej. 3x²/6x² = 3/6 = ½
y = ½

c) Si n>m, Entonces R no tiene asintota horizontal, tiene asintota oblicua

Funciones racionales 29/nov/11

Funciones racionales

Una function racional es una function en la forma r(x)=P(x)/Q(x), donde Q(x)≠0

Ejemplo: F(x)=1/x ; x≠0

h(x)=1/x+2 ; x≠-2

g(x)=x+8/x^2-9 ; x≠±3

f(x)=1/x

Asintotas Verticales, Horizontales u oblicuas

Asintota vertical

Ej. h(x)=1/x+2

Df=(-∞,-2)U(-2,∞)

X+2=0

X=-2

Tabla de valores

x->-2^-

x	y
-5	-0.33
-4	-0.5
-3	-1
-2.5	-2
-2.2	-5

x->-2^+

x	y
-1.5	2
-1.7	3.3
-1.8	5
-1	1
0	0.5
2	0.25
3	0.2
4	0.16
1	0.33

Funciones Polinimiales (10 de noviembre de 2011)

-Sea P un polinomio con coeficientes reales si se divide p(x) entre x-b (con b>0) Por medio de la division sintetica y el residuo es cero entonces b es un cero de la funcion


Ejemplo #1


f(x)= x³ + x² - 10x + 8 tiene dos ceros positivos

f(-x)= (-x)³ + (-x)² - 10(-x) + 8

-x³ + x² + 10x +8 tienes un cero negativo


p = factores del ultimo termino
_________________________
q = factores del primer temino


p = ±1 ±2 ±4 ±8
_____________

q = ±1



Los posibles ceros de la funcion:
±1 ±2 ±4 ±8


Division Sintetica:

1 | 1 1 -10 8
| 1 2 -8
2 | 1 2 -8 | 0
| 2 8
1 4 | 0


x + 4
x + 4= 0
x= -4



x = 1
x = 2
x = -4

f(x)= (x - 1) ( x – 2) ( x + 4)

Ceros y el Teorema Fundamnetal de Algebra

Teorema fundamental de algebra:

Todo poliniomio:

P(x)=a_n xⁿ + a_an-1x^n-1 +…a₁x+a_o

_{donde: n>= 1,} a_{n /= 0}

_{Teorema de la Factorizacion Completa:}

_{Si P(x) es un polinomio de grado n>=1,entonces existen numeros complejos a,}c₁, c₂...c_{n con a/=0 tal que:}

P(x)a(x-c₁)(x-c_2)...(x-c_n)

_Ejemplos:

_1)f(x)=(X³+x²) + (9x+9)

=x²(x+1) + 9(x+1)

=(x+1)(x²+9)

F(x)=(x+1)(x+3i)(x-3i)

2)f(x)=x⁵ + 6x³ + 9x

=x(x⁴ -6x² +9)

=x(x² +3)(x² +3)

f(x)=x(x-raiz 3i)² (x+raiz 3i)²

Funciones Polinomiales 7/nov/11

7/nov/2011

Funciones Polinomiales

F(x)=x^3-x
f(x)=x(x^2-1)
f(x)=x(x+1)(x-1)
0=x(x+1)(x-1)

x1=0 ; x2=-1 ; x3=1 ------------Tres interceptos en x




Fin

8/nov/11 Teorema de la factorizacion completa

+[falte este dia possiblemente la informacion no esta en orden o falta alguna informacion]

Si p(x) es un polinomio de grande n>0, entonces existen numeros complejos a,c,c2...cn

(a≠0) tal que: f(x)=a(x-c)(x-x2)...(x-cn)

Estos ceros no necesitan o tienen que ser distintos si el factor x-c aparecen k veces en la factorizacion completal del polinomio p(x), decimos que c es un cero de multiplicidad k.

Para cada funcion polinomial

a. Halle las raices reales

b.Halle el intercepto en y

c.Determine los intervalos donde la grafica esta sobre el eje de x.

d. Trace un bosquejo de la grafica de P.

Funciones polinomiales

f(x)=a_nXⁿ + a_-1X^-1+ a_-2X^-2 + a….. donde a_n, a_n-1…. Son números reales y n no es un número negativo. El dominio esta compuesto de números reales. Una función polinomial es una función cuya regla está dada por un polinomio en una variable. El grado de una función polinomial es el grado de la variable .

Ej:

f(x)=3x⁴-2x³ +8x²+7x+1

Grafica de una función polinomial

f(x)= x³ – x

f(x)= x(x² -1)

f(x)= x(x+1) (x-1)

x₁=0 x₂=-1 x₃=1

Intervalos	x	f(x)= x3 – x	Signos	Comportamiento
(-∞,-1)	-2	-6	-	down
(-1,0)	-0.5	0.375	+	up
(0, 1)	0.5	-0.375	-	down
(1, ∞)	2	6	+	up

X	Y
-2	-6
-0.5	0.37
0.5	0.37
2	6
-1	0
0	0
1	0
1.5	1.8
-1.5	-1.8