ceros complejos y el teorema fundamental del algebra

15 de noviembre de 2011

• Teorema fundamental del algebra:

Todo polinomio:

P(x)= anxn + an-1xn-1…… a1x + a0

donde n ≥1, an≠0

Teorema de factorizacion completa :

Si p(x) es un polinomio de grado n≥1, entonces existen numeros complejos a, c1, c2.....cn a≠o tal que:

Ej:

f(x)= X3 + X2 + 9X + 9

X2(x+1) + 9(x+1)

(x+1)(X2+9)

X1=-1

X2=-3i

X3=3i

f(x)=(x+1)(x+3i)(x-3i)

Teorema De Ceros Conjugados.

16 Noviembre 2011

-Si el polinomio P tiene coeficientes reales, Y. Si el numero complejo Z es un cero de P entonces son complejo conjugado Z es tambien un cero de P

1) Escribe un polinomio de grado 3 cuyos ceros son: 1,-5,6
x=1 => x-1
x=-5 => x+5
x=6 => x-6

f(x)= (x-1)(x+5)(x-6)
=(x^2+4x-5)(x-6)
=X^3-6x^2+4x^2-24x-5x+30
=x^3-2x^2+29x+30

2) Escribe un polinomio de grado 3 cuyos ceros son: 3,-2i
x=3 => x-3
x=-2i => x+2i
x=2i => x-2i

f(x)=(x-3)(x+2i)(x-2i)
=(x-3)(x^2+4)
=x^3+4x-3x^2-12
=x^3-3x^2+4x-12

BY DANIER

Funciones Racionales

Ej.

f(x)= 2/x² - 4

Df= ( - ∞, - 2 )U( -2, 2 )U( 2, ∞)


Sintética Vertical

x² - 4 = 0
√x²= √4
x = ±2



x→ 2‾
x y
-4 0.16
-3 0.14
-2.5 0.88
-2.3 1.5
-2.2 2.4
-2.1 4.9

x→ 2+
x y
2.1 4.4
2.2 2.4
2.3 1.5
2.5 0.88
3 0.4
4 0.16














Asintotas Horizontal

R(x)= aₓ xⁿ + aₓ̱ xⁿ־¹ … ax + a˳
_____________________________
bₓx ͫ + bm ̱ x ͫ ־¹ … bx + b˳


Las asintotas Horizontales se obtinen:

a) Si nEj. x/x² - 4

b) Si n = m, entonces R tiene asuntota horizontal y = aₓ/bm
Ej. 3x²/6x² = 3/6 = ½
y = ½

c) Si n>m, Entonces R no tiene asintota horizontal, tiene asintota oblicua

Funciones racionales 29/nov/11

Funciones racionales

Una function racional es una function en la forma r(x)=P(x)/Q(x), donde Q(x)≠0

Ejemplo: F(x)=1/x ; x≠0

h(x)=1/x+2 ; x≠-2

g(x)=x+8/x^2-9 ; x≠±3

f(x)=1/x

Asintotas Verticales, Horizontales u oblicuas

Asintota vertical

Ej. h(x)=1/x+2

Df=(-∞,-2)U(-2,∞)

X+2=0

X=-2

Tabla de valores

x->-2^-

x	y
-5	-0.33
-4	-0.5
-3	-1
-2.5	-2
-2.2	-5

x->-2^+

x	y
-1.5	2
-1.7	3.3
-1.8	5
-1	1
0	0.5
2	0.25
3	0.2
4	0.16
1	0.33

Funciones Polinimiales (10 de noviembre de 2011)

-Sea P un polinomio con coeficientes reales si se divide p(x) entre x-b (con b>0) Por medio de la division sintetica y el residuo es cero entonces b es un cero de la funcion


Ejemplo #1


f(x)= x³ + x² - 10x + 8 tiene dos ceros positivos

f(-x)= (-x)³ + (-x)² - 10(-x) + 8

-x³ + x² + 10x +8 tienes un cero negativo


p = factores del ultimo termino
_________________________
q = factores del primer temino


p = ±1 ±2 ±4 ±8
_____________

q = ±1



Los posibles ceros de la funcion:
±1 ±2 ±4 ±8


Division Sintetica:

1 | 1 1 -10 8
| 1 2 -8
2 | 1 2 -8 | 0
| 2 8
1 4 | 0


x + 4
x + 4= 0
x= -4



x = 1
x = 2
x = -4

f(x)= (x - 1) ( x – 2) ( x + 4)

Ceros y el Teorema Fundamnetal de Algebra

Teorema fundamental de algebra:

Todo poliniomio:

P(x)=a_n xⁿ + a_an-1x^n-1 +…a₁x+a_o

_{donde: n>= 1,} a_{n /= 0}

_{Teorema de la Factorizacion Completa:}

_{Si P(x) es un polinomio de grado n>=1,entonces existen numeros complejos a,}c₁, c₂...c_{n con a/=0 tal que:}

P(x)a(x-c₁)(x-c_2)...(x-c_n)

_Ejemplos:

_1)f(x)=(X³+x²) + (9x+9)

=x²(x+1) + 9(x+1)

=(x+1)(x²+9)

F(x)=(x+1)(x+3i)(x-3i)

2)f(x)=x⁵ + 6x³ + 9x

=x(x⁴ -6x² +9)

=x(x² +3)(x² +3)

f(x)=x(x-raiz 3i)² (x+raiz 3i)²

Funciones Polinomiales 7/nov/11

7/nov/2011

Funciones Polinomiales

F(x)=x^3-x
f(x)=x(x^2-1)
f(x)=x(x+1)(x-1)
0=x(x+1)(x-1)

x1=0 ; x2=-1 ; x3=1 ------------Tres interceptos en x




Fin

8/nov/11 Teorema de la factorizacion completa

+[falte este dia possiblemente la informacion no esta en orden o falta alguna informacion]

Si p(x) es un polinomio de grande n>0, entonces existen numeros complejos a,c,c2...cn

(a≠0) tal que: f(x)=a(x-c)(x-x2)...(x-cn)

Estos ceros no necesitan o tienen que ser distintos si el factor x-c aparecen k veces en la factorizacion completal del polinomio p(x), decimos que c es un cero de multiplicidad k.

Para cada funcion polinomial

a. Halle las raices reales

b.Halle el intercepto en y

c.Determine los intervalos donde la grafica esta sobre el eje de x.

d. Trace un bosquejo de la grafica de P.

Funciones polinomiales

f(x)=a_nXⁿ + a_-1X^-1+ a_-2X^-2 + a….. donde a_n, a_n-1…. Son números reales y n no es un número negativo. El dominio esta compuesto de números reales. Una función polinomial es una función cuya regla está dada por un polinomio en una variable. El grado de una función polinomial es el grado de la variable .

Ej:

f(x)=3x⁴-2x³ +8x²+7x+1

Grafica de una función polinomial

f(x)= x³ – x

f(x)= x(x² -1)

f(x)= x(x+1) (x-1)

x₁=0 x₂=-1 x₃=1

Intervalos	x	f(x)= x3 – x	Signos	Comportamiento
(-∞,-1)	-2	-6	-	down
(-1,0)	-0.5	0.375	+	up
(0, 1)	0.5	-0.375	-	down
(1, ∞)	2	6	+	up

X	Y
-2	-6
-0.5	0.37
0.5	0.37
2	6
-1	0
0	0
1	0
1.5	1.8
-1.5	-1.8

Caida Libre-Funcion de Posicion

A un tiempo cero (t=0) un clavista se impulsa a una velocidad de 16 pies/seg. desde una plataforma que se encuentra a una ltura de 32 pies sobre el agua.

s(t)=-1/2 gt²+ vot+ so

g=9.8 pies m/s² --->32pies/s²

^{t= tiempo}

v_o= velocidad inicial

s_o= posicion inicial

a) Cual es la funcion que define la trayectoria del clavadista?

s(t)=-1/2(32) t²+16(t)+32

s(t)= -16 t²+16 +32

b)Cual es la altura maxima que alcanza el clavista? h=s(t)

s(0.5)=-16 (0.5)²+16(0.5) +32

s(0.5_=36

hmax=36 pies

c) Cuanto tiempo le toma al clavista alcanzar la altura maxima?

t=-b/2a

=-1/2(-16)

d)Cuando el clavadista toca el agua?

O=-16 t²= 16 (t)+32

O/-16=-16(t²-t-2)/-16

O=t²-t-2

O=(t+1)(t-2)

t+1=O t-2=O

t=-1 t=2

t=2seg.

* Escoger el resultado positivo.

Funciones Cuadraticas

Problemas de Aplicacion

A) Area Maxima

Ejemplo # 1. Se requiere construir una verja para cubrir un terreno rectangular que se encuentra al costado de una casa. Se cuenta con un rollo de 1000m d tela metalica.?Cual es el area maxima que se puede cercar?

Formulas:
p = 2w + 2L
a = Lw
la w seria la x ---> w = -b/2a



p = 2w + L

1,000 = 2w + L
1,000 - 2w = L

a = Lw

a = (1,000 - 2w)w
a = 1,000w - 2w²
a = -2w² + 1,000w

w = -b/2a
w = -(1000)/2(-2)
w = -1000/-4
w = 250m

1,000 - 2w = L
1,000 - 2(250) = L
1,000 - 500 = L
500 = L

a = Lw
a = (500m)(250m)
a = 25,000 m²

Area maxima = 25,000 m²

Fonctions Quadratiques

Funciones Cuadraticas, WoW!!

---Forma General---

f(x)=ax²+bx+c

k= 4ac-b²/4a

h= -b/2a

eje de simetria== -b/2a

Y= f(-b/2a)

EJEMPLIFICACION!!!

1) f(x)=2x²-4x+1

a) x=-b/2a
x=4/(2(2))
x=1

b) Y= 2(1)²-4(1)+1
Y=2-4+1
Y=-1

c) V=(1,-1)

d) intercepto en Y

2(0)²-4(0)+1
=(0,1)

e) Discriminante!!!!!!!!

=b²-4ac
=(-4)²-4(2)(1)
=16-8
=8 porlo tanto segun b²-4ac<0 tiene dos interceptos en X

f) intercepto en X

0=-b±√(b²-4ac)/2a
0=-(-4)±√((-4)²-4(2)(1))/(2(2))
0¹=7.7
0²=-4.7

g) tabla de valores y graficas




q fea la grafica!!!
jajaj la hice en paint

Funciones Cuadratica 19/oct/11

Forma general

f[x]=ax^2+bx+c

f[x]=-3x^2+6x-4

vertices

x=-b/2a = -6/2[-3] = 1

y=4ac-b^2/4a = 4[-3][-4]-[6]^2/4[-3] = -1

(1,-1)

eje de simetria

x=1

Concavidad

A<0

Int y (0,-4)

int x no tiene

Tabla de valores

x	y
-2	-28
-1	-13
0	-4
1	-1
2	-4

Grafica

Funcion Cuadratica

Una función cuadrática es una función que puede ser escrita en dos formas:

Forma general: ax²+ bx+ c = 0

Forma estándar: f(x)= a(x – h) ² + k

Vértice de una parábola: es cuando una parábola abre hacia arriba, tiene un punto mínimo. Si abre hacia abajo, tiene un punto máximo. El punto más abajo o más arriba es el vértice de una parábola.

El vértice de una parábola es (h, k)

Eje de simetría: es la recta que pasa por el vértice de una parábola que divide la parábola en dos mitades congruentes.

Concavidad: a>0, cóncava hacia arriba

a<0, cóncava hacia abajo

Para resolver una función cuadrática se necesitan varios factores

a) Vértice

b) Eje de simetría

c) Intercepto en y

d) Intercepto en x (Discriminante)

e) Concavidad

f) Tabla de valores

g) Grafica

Ejemplo:

1.Método de completar el cuadrado (general=estándar)

f(x) = x²+ 2x – 8

= (x²+ 2x) – 8

=(x²+ 2x +1 – 1) – 8

=(x²+ 2x +1) – 8 – 1

f(x) = (x + 1)² - 9

2. Vértice: (-1, -9)

3. Eje de simetría: x = -1

4. Intercepto en y

f(x) = (x + 1)² - 9

y = (0 + 1)² - 9

y = 1 – 9

y = -8

(0, -8)

5. Intercepto en x

a)Discriminante

b² - 4ac > 0 2 interceptos

b² - 4ac = 0 1 intercepto

b² - 4ac < 0 0 intercepto

(2)² - 4(1) (-8)

4 + 32

36 > 0 = 2 interceptos

f(x) = (x + 1)² - 9

0 = (x + 1)² - 9

9 = (x + 1)²

+- 3= x +1

-3 – 1= -4 (-4, 0)

3 – 1 = 2 (2, 0)

6. Concavidad: a>0

7. Tabla de valores

X	Y
-4	0
2	0
0	-8
-1	-9
-2	-8
-3	-5
-5	7
3	7
1	-5

8. Grafica

Funciones uno a uno y sus inversas

Definicion:

Una funcion con dominio A se cono ce como uno a uno. Si no hay dos elementos de A que tengan el mismo rango esto es:

f(x)

-Funcion uno a uno

* Si no hay la misma cantidad de elementos en las dos columnas no es funcion uno a uno.

Prueba de la Recta Horizontal:

Una funcion es uno a uno si ninguna recta horizontal interseca su grafica mas de una vez.

Funciones Inversas:

Las funciones uno a uno son imporatntes porque estas tienen funciones inversas con la definicion siguiente:

-Sea f una funcion uno auno con dominio A y Rango B. Entonces su funcion inversa f^-1 tiene Domino B y Rango A esta definida por:

f^-1 (y)=x<=>f(x)=y

Ej:

1.

2.Inversos entre Si:

f^-1(f(x))=(f^-1o f)(x)=x/1

= 1-2(1/x+2)

entre 1/x+2

= 1-2/x+2

entre 1/x+2

= x+2-2/x+2

entre 1/x+2

= x/x+2 por x+2/1

= x

Composicion de Funciones

Dada dos funciones f y g, la funcion compuesta (fog) esta definica por:

o= compuesto

(f o g)= f esta compuesto por g = f(g(x))
(g o f)= g esta compuesta por f = g(f(x))

Ejemplo#1:

f(x)= 5x²-3
g(x)= x+5


a) (f o g)(x)= 5(x + 5)² -3
= 5(x² + 10x + 25) -3
= 5x² + 50x + 125 -3

= 5x² + 50x + 122


b) (g o f)(x)= (5x² - 3) + 5

= 5x² + 2

Ejemplo#2

f(x)= √x
g(x)= x² + 1
h(x)= x + 3

a) (f o g o h) = √(x + 3)² +1
= √x² + 6x + 9 + 1

= √x² + 6x + 10

26/sept/11 Combinacion de funciones

En esta seccion se estudian diferentes formas de combinar funciones para construir otras.

Suma diferencias, productos y cocientes.

Dos funciones f y g se pueden combinar para formar nuevas funciones f + g, f - g, f[g] y f/g de una manera similar a la forma que se suma , resta, multiplacacion y divide numeros reales. Se define la informacion f + g por

[f + g][x]=f[x] + g[x]

ejemplo: f[x] =2x - 4

g[x] = x-2

[f + g][x] = 2x - 4 + x -2

[f + g][x]= 3x - 6

[f - g][x] = 2x - 4 - x -2

[f - g][x] = x -6

[fg][x] = [2x - 4][x - 2]

[fg][x] = 2x^2 + 4x -4x + 8

[fg][x] = 2x^2 + 8

[f/g][x] = 2x - 4/x -2

[f/g][x] = 2[x-2]/x-2

[f/g][x] = 2